Formulas for IPhO 日本語版: Section 9 ​

9: 電磁気学 ​

9.1: Coulomb の法則 ​

1. $F=k q_1 q_2 / r^2, U=k q_1 q_2 / r$ で, Kepler の法則が 使える (Section 12 参照).

9.2: Gauss の法則 ​

2. Gauss の法則 : $\oint \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=0$,

   $$\oint \varepsilon \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=Q, \oint \boldsymbol{g} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=-4 \pi G M$$

9.3: 循環定理 ​

3. 循環定理 :

   $$\oint \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0(=\dot{\Phi}), \oint \frac{\boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}}{\mu}=I, \oint \boldsymbol{g} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0$$

9.4: 電流素片により生じる磁束密度 ​

4. 電流素片により生じる磁束密度 :

   $$\mathrm{d} \boldsymbol{B}=\frac{\mu I}{4 \pi} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \boldsymbol{e}_r}{r^2} .$$

   したがって電流 $I$ が流れる円形回路の中心では $B=\frac{\mu_0 I}{2 r}$.

9.5: ローレンツ力 ​

5. $\boldsymbol{F}=e(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}), \boldsymbol{F}=\boldsymbol{I} \times \boldsymbol{B} l$.

9.6: Gauss の定理と循環定理より ​

6. Gauss の定理と循環定理より：帯電した導線について $E=\frac{\sigma}{2 \pi \varepsilon_0 r}$, 電流が流れる導線について $B=\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$. 帯電した面について $E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$, 電流が流れる面につい て $B=\frac{\mu_0 i}{2}$. 一様に帯電した球殼（又は無限に長い円 筒）の内部で $E=0$, 軸に沿って表面に電流が流れる 円筒の内部で $B=0$. 密度 $\rho$ で一様に帯電, 又は一様 な電流 $\boldsymbol{i}$ が流れる, 球 $(d=3) /$ 円柱 $(d-2) /$ 平面 $(d=1)$ の内部で,

   $$\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon d} \boldsymbol{r}, \boldsymbol{B}=\frac{1}{\mu d} \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{r}$$

9.7: 長いソレノイド ​

7. 長いソレノイド: 内部で $B=\mu n I$, 外部で $B=0$. 磁束 $\Phi=N B S\left(n=\frac{N}{l}\right)$. インダクタンス $L=$ $\Phi / I=\mu n^2 V$. 短いソレノイド $: B_{\|}=\frac{\mu n I \Omega}{4 \pi}(\Omega$ は 立体角).

9.8: 磁場を小型コイルや衝撃検流計で測定する ​

9. 磁場を小型コイルや衝撃検流計で測定する： $q=$ $\int \frac{V}{R} \mathrm{~d} t=N S \Delta B / R$.

9.9: 静電場のエネルギー ​

9. 静電場のエネルギー：

   $$U=k \sum_{i<j} \frac{q_i q_j}{r_{i j}}=\frac{1}{2} \int \phi(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} q, \mathrm{~d} q=\rho(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} V$$

9.10: 一様に帯電した球面や円筒面の各部分の間に働く力 ​

10. 一様に帯電した球面や円筒面の各部分の間に働く力 : 帯電による力を静水圧による力に置き換える.

9.11: 全ての電荷 ​

12. 全ての電荷が距離 $r$ にある場合（例えば，不均一に帯 電した球やリングの中心） $\phi \phi=k Q / r$

9.12: 外部電荷 ​

13. 外部電荷によって引き起こされる正味の電荷（又は電 位）を求めるには, 電荷を「出現」させて問題を対称的 にし，重ね合わせの原理を用いる.

9.14: 導体 ​

14. 導体は電荷や電場を遮蔽する．例えば，中空の球体の 内部の電荷分布は外から見えない（あたかも $Q$ という 電荷を持った導電性の球があるように見える).

9.15: 静電容量 ​

15. 静電容量: $C=\varepsilon S / d$ (平板), $4 \pi \varepsilon r$ (球), $2 \pi \varepsilon l(\ln R / r)^{-1}$ (同軸円筒).

9.16: 双極子モーメント ​

16. 双極子モーメント：

    $$\boldsymbol{p}_e=\sum q_i \boldsymbol{r}_i=q \boldsymbol{d}, \boldsymbol{p}_\mu=I \boldsymbol{S}$$

9.17: 双極子場 ​

17. 双極子場 : $\phi=k \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{e}_r / r^2, E, B \propto r^{-3}$

9.18: 双極子に働く力 ​

19. 双極子に働く力 : $F=\left(\boldsymbol{p}_e \cdot \boldsymbol{E}\right)^{\prime}, F=\left(\boldsymbol{p}_\mu \cdot \boldsymbol{B}\right)^{\prime}$ [訳 者注 : ここの微分はむしろ $\operatorname{grad}$ である]. 2 つの双極 子間の相互作用 $: F \propto r^{-4}$.

9.19: 磁気双極子としての点電荷 ​

19. 磁気双極子としての点電荷 : $p_\mu \propto \Phi \propto v_{\perp}^2 / B$ は断熱 不変量 (Section 4: #22 参照).

9.20: 鏡像法 ​

20. 鏡像法 : 接地された（磁石の場合は超電導の）平面が鏡 の役割をする. 接地された（又は孤立した）球体の場 は, 球体の内部にある 1 つ（又は 2 つ）の架空の電荷 のつくる場として求められる. 平面導波管（金属板の 間のスリット）内の場は, 電磁平面波の重ね合わせと して求められる.

9.21: 一様（電）場中の球 (円柱) の分極 ​

21. 一様（電）場中の球 (円柱) の分極 : $(+\rho$ と $-\rho$ に一 様に帯電した球 (円柱) の重ね合わせで， $d \propto E$.

9.22: 渦電流 ​

22. 渦電流: 電流損失密度 $\approx B^2 v^2 / \rho .1$ 回の通過で与え られる運動量 : $F \tau \approx B^2 a^3 d / \rho$ (ここで $d$ は厚さ, $a$ は大きさ).